Berry paradox

De Berry paradox is een self-referentiële paradox die voortvloeien uit een uitdrukking als "de kleinste positief geheel getal niet te definiëren in minder dan twaalf woorden". Bertrand Russell, de eerste om de paradox te bespreken in print, toegeschreven aan GG Berry, een junior bibliothecaris bij Bodleian bibliotheek van Oxford, die de beperktere paradox die voortvloeien uit de uitdrukking "de eerste ondefinieerbare ordinal" had voorgesteld.

De paradox

Denk aan de uitdrukking:

Aangezien er eindig veel woorden, er zijn eindig veel zinnen van minder dan elf woorden, en dus eindig veel positieve gehele getallen die worden bepaald door de zinnen van onder elf woorden. Aangezien er oneindig veel positieve gehele getallen, betekent dit dat er positieve gehele getallen die niet kunnen worden gedefinieerd zinnen van onder elf woorden. Als er positieve gehele getallen die een bepaalde eigenschap voldoet, dan is er een klein positief geheel getal dat voldoet aan die eigenschap; Daarom is er een kleinste positieve getal dat voldoet Object "dat niet naar binnen onder elf woorden". Dit is het gehele getal waarvoor de bovenstaande formule verwijst. De bovenstaande formule is slechts tien woorden lang, dus dit getal wordt bepaald door een uitdrukking die onder elf woorden lang; het definiëren in het kader elf woorden, en is het kleinste positieve getal dat niet naar binnen onder elf woorden en wordt niet bepaald door deze uitdrukking. Dit is een paradox: er moet een integer gedefinieerd door deze uitdrukking zijn, maar omdat de uitdrukking met zichzelf in tegenspraak, kan er geen getal gedefinieerd door het.

Resolutie

Berry paradox hierboven geformuleerde ontstaat door systematische dubbelzinnigheid in het woord "definieerbare '. In andere samenstellingen van de Berry paradox, zoals één dat in plaats luidt: "... niet benoembare minder ..." de term "benoembare" is ook een die deze systematische dubbelzinnigheid. Een dergelijk beding aanleiding geven tot vicieuze cirkel drogredenen. Andere termen met dit type dubbelzinnigheid zijn: satisfiable, true, false, functie, eigenschap, klasse, relatie, kardinaal en ordinale. Om op te lossen een van deze paradoxen betekent om precies te lokaliseren waar onze taalgebruik ging het mis en om beperkingen op het gebruik van de taal die ze kunnen vermijden.

Deze familie van paradoxen kan worden opgelost door het opnemen stratificaties van betekenis in de taal. Algemene systematische dubbelzinnigheid met indices aangeeft dat een mate van betekenis wordt beschouwd een hogere prioriteit dan andere in de interpretatie worden geschreven. "Het aantal niet nameable0 in minder dan elf woorden" worden nameable1 in minder dan elf woorden op grond van deze regeling.

Formele analogen

Met behulp van programma's of bewijzen van begrensde lengte, is het mogelijk om een ​​analoog van de Berry expressieconstruct in een formele wiskundetaal, zoals werd geschreven door Gregory Chaitin. Hoewel de formele analoge niet tot een logische tegenstrijdigheid, bewijst het bepaalde onmogelijkheid resultaten.

George Boolos gebouwd op een geformaliseerde versie van Berry's paradox Gödel onvolledigheid stelling te bewijzen in een nieuwe en veel eenvoudiger manier. Het basisidee van zijn bewijs is dat een stelling dat de verzameling bezit van x als x = n enige natuurlijk getal n definitie kan worden opgeroepen n, en dat {: n een definitie die is k symbolen lang} aantoonbaar zijn voorstelbaar. Dan 'm is het eerste nummer niet te definiëren in minder dan k symbolen "de stelling kan worden geformaliseerd en getoond aan een definitie in de zin gewoon vermeld zijn.

Relatie met Kolmogorov complexiteit

Het is niet mogelijk in het algemeen eenduidig ​​bepalen wat het minimum aantal symbolen nodig is om een ​​bepaalde tekenreeks beschrijven. In dit verband kan de opdracht string en aantal door elkaar gebruikt worden, omdat een aantal in feite een reeks van symbolen, dat wil zeggen een Engels woord terwijl, anderzijds, is het mogelijk te verwijzen naar elk woord met een nummer, bijvoorbeeld door het aantal van zijn positie in een bepaalde dictionary of door geschikte codering. Sommige lange slierten kan worden beschreven precies met minder symbolen dan die welke hun volledige vertegenwoordiging, zoals vaak met behulp van datacompressie ervaren. De complexiteit van een gegeven string wordt dan gedefinieerd als de minimale lengte die een beschrijving nodig om te verwijzen naar de volledige weergave van die snaar.

De complexiteit Kolmogorov wordt bepaald met behulp van formele talen, of Turing machines die dubbelzinnigheden vermijdt waarover reeks resultaten van een bepaalde beschrijving. Het kan worden bewezen dat de complexiteit Kolmogorov is niet berekenbaar. Het bewijs van tegenstrijdigheid laat zien dat als het mogelijk de complexiteit Kolmogorov berekenen waren, dan zou het ook mogelijk zijn om systematisch te genereren tegenstrijdigheden vergelijkbaar met deze, namelijk beschrijvingen korter zijn dan de complexiteit van de beschreven reeks inhoudt. Dat wil zeggen, de definitie van Berry getal is paradoxaal omdat het niet echt mogelijk om te berekenen hoeveel woorden nodig zijn om een ​​aantal te definiëren, en we weten dat een dergelijke berekening niet mogelijk vanwege de paradox.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen commentaar

Voeg een reactie

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha