Bézout domeinnaam

In de wiskunde, een Bézout domeinnaam is een integraal domein waarin de som van de twee belangrijkste idealen is weer een hoofdideaal. Dit betekent dat voor elk paar elementen een Bézout identiteit houdt, en dat elke eindig gegenereerde ideaal is opdrachtgever. Elke hoofdideaaldomein is een Bézout domein, maar een Bézout domeinnaam hoeft een Noetherse ring niet, dus het zou niet-eindig gegenereerde idealen hebben; zo ja, het is geen unieke factorisatie domein, maar nog steeds een GCD domein. De theorie van Bézout domeinen heeft veel van de eigenschappen van de PID's, zonder dat de Noetherse pand. Bézout domeinen zijn vernoemd naar de Franse wiskundige Étienne Bézout.

Voorbeelden

  • Alle PID zijn Bézout domeinen.
  • Voorbeelden van Bézout domeinen die niet PIDs onder de ring van de gehele functies en de ring van algebraïsche gehelen. Bij volledige functies alleen irreducibele elementen functies in verband met een polynoom functie van graad 1, zodat een element een factorisatie indien zij eindig aantal nullen. Bij de algebraische integers er geen irreducibele elementen helemaal omdat voor iedere algebraïsche integer de vierkantswortel is een algebraïsche integer. Dit toont in beide gevallen dat de ring is niet een UFD, en dus zeker niet een PID.
  • Waardering ringen zijn Bézout domeinen. Elke niet-Noetherse waardering ring een voorbeeld van een niet-noetherse Bézout domein.
  • De volgende algemene constructie produceert een Bézout domein S, dat is geen UFD uit een Bézout domein R, dat is niet een veld, bijvoorbeeld van een PID; de zaak is de fundamentele voorbeeld voor ogen hebben. Laat F zijn op het gebied van fracties van R, en zet de deelring van veeltermen in F met een constante term in R. Deze ring is niet Noetherse, omdat een element zoals X met nul constante term voor onbepaalde tijd kan worden gedeeld door noninvertible elementen van R, die nog noninvertible in S, en de ideale gegenereerd door al deze quotiënten van niet eindig gegenereerd. Eén toont als volgt dat S is een Bézout domein.

Properties

Een ring is een Bézout domein als en slechts als het een integriteitsdomein waarbij twee elementen een grootste gemene deler is dat een lineaire combinatie ervan: dit komt overeen met de mededeling dat ideaal dat wordt gegenereerd door twee elementen is gegenereerd door een enkel element, en inductie toont aan dat alles eindig gegenereerde idealen zijn opdrachtgever. De expressie van de grootste gemene deler van twee elementen van een PID als een lineaire combinatie wordt vaak Bézout identiteit, waar de terminologie.

Merk op dat de bovenstaande ggd voorwaarde is sterker dan het loutere bestaan ​​van een ggd. Een integraal domein waar een ggd bestaat voor elke twee elementen wordt een GCD domein en dus Bézout domeinen zijn GCD domeinen. In het bijzonder, in een Bézout domein, irreducibles zijn prime.

Voor een Bézout domein R, de volgende voorwaarden zijn allemaal gelijk:

  • R is een hoofdideaaldomein.
  • R is Noetherse.
  • R is een unieke factorisatie domein.
  • R voldoet aan de oplopende keten voorwaarde belangrijkste idealen.
  • Iedere nul nonunit in R factoren in een product van irreducibles.

De gelijkwaardigheid van en is hierboven vermeld. Aangezien een Bézout domein een GCD domein, volgt direct dat en gelijkwaardig. Tot slot, als R niet Noetherse, dan bestaat er een oneindig opgaande keten van eindig gegenereerde idealen, dus in een Bézout domein een oneindig opgaande keten van opdrachtgever idealen. en zijn dus equivalent.

Een Bézout domein een Prüfer domein, dat wil zeggen een gebied waarin elk eindig voortgebrachte ideaal inverteerbaar is, of genoemde andere manier een commutatieve semihereditary domein).

Grofweg kan men de gevolgen te bekijken "Bézout domeinnaam impliceert Prüfer domein en GCD-domein" de niet-Noetherse analogen van de meer bekende "PID impliceert Dedekind domein en UFD". De analogie niet nauwkeurig een UFD Noetherse hoeven te zijn.

Prüfer domeinen kan worden gekarakteriseerd als integraal domeinen waarvan lokalisaties helemaal prime idealen zijn waardering domeinen. Dus de lokalisatie van een Bézout domein aan een toplocatie ideaal is een waardering domein. Aangezien een omkeerbare ideaal in een lokale ring is opdrachtgever, een lokale ring is een Bézout domeinnaam IFF is een waardering domein. Bovendien is de waardering domeinnaam met niet-cyclische waarde groep niet Noetherse, en elke totaal bestelde abelse groep is de waarde groep van zo'n waardering domein. Dit geeft veel voorbeelden van niet-noetherse Bézout domeinen.

In de niet-commutatieve algebra, rechts Bézout domeinen zijn domeinen waarvan eindig gegenereerde juiste idealen hoofdsom gelijk idealen, dat is, van het formulier xR voor sommige x in R. Een opvallend resultaat is dat een recht Bézout domein is een recht Ore domein. Dit feit is niet interessant in het commutatieve geval, aangezien elke commutatieve domein een Ore domein. Rechts Bézout domeinen zijn ook gelijk semihereditary ringen.

Modules over een Bézout domeinnaam

Enkele feiten over modules over een PID te breiden tot modules over een Bézout domein. Zij R een Bézout domein en M eindig gegenereerde module dan R. Dan is M plat als en slechts als het torsievrij.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen commentaar

Voeg een reactie

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha