Church-Turing these

In berekenbaarheid theorie, de Church-Turing these is een hypothese over de aard van berekenbare functies. In eenvoudige bewoordingen, de Church-Turing these stelt dat een functie op de natuurlijke getallen is berekenbaar in een informele zin als en alleen als het is berekenbaar door een Turing machine. Het proefschrift is vernoemd naar de Amerikaanse wiskundige Alonzo Church en zijn Ph.D. student, de Britse wiskundige Alan Turing.

Voordat de precieze definitie van berekenbare functie, wiskundigen vaak de informele termijn effectief berekenbare om functies die berekenbare door papier-en-papier methoden te beschrijven. In de jaren 1930, werden verschillende onafhankelijke pogingen gedaan om het begrip berekenbaarheid formaliseren:

  • In 1933, Oostenrijks-Amerikaanse wiskundige Kurt Gödel, met Jacques Herbrand, creëerde een formele definitie van een klasse van algemene recursieve functies. De klasse van de algemene recursieve functies is de kleinste klasse van functies die alle omvat constante functies, projecties, de opvolger functie, en die onder de functie samenstelling en recursie is gesloten.
  • In 1936, Alonzo Kerk creëerde een methode voor het definiëren van functies genaamd de λ-calculus. Binnen λ-calculus, gedefinieerd hij een codering van de natuurlijke getallen genoemd de Kerk cijfers. Een functie van de natuurlijke getallen heet λ-berekenbare als de corresponderende functie op de kerk getallen kan worden weergegeven door een term van de λ-calculus.
  • Ook in 1936, voor het leren van het werk Kerk, Alan Turing creëerde een theoretisch model voor machines, nu genaamd Turing machines, dat de berekeningen van de ingangen kunnen uitvoeren door het manipuleren van symbolen op een tape. Bij een geschikte codering van de natuurlijke getallen als reeksen van symbolen, is een functie van de natuurlijke getallen Turing berekenbaar genoemd als enkele Turingmachine berekent de corresponderende functie op gecodeerde natuurlijke getallen.

Kerk en Turing bewezen dat deze drie formeel gedefinieerd klassen van berekenbare functies samenvallen: een functie λ-berekenbaar als en alleen als het Turing berekenbaar als en slechts als het algemene recursieve. Dit heeft geleid wiskundigen en computer wetenschappers geloven dat het begrip computability nauwkeurig wordt gekenmerkt door deze drie overeenkomstige processen.

Aan de andere kant, de Church-Turing these stelt dat de drie bovengenoemde formeel gedefinieerd klassen van berekenbare functies samenvallen met de informele idee van een effectief berekenbare functie. Omdat, zoals een informele gedachte, het concept van effectieve berekenbaarheid heeft geen formele definitie, de scriptie, hoewel het bijna universele aanvaarding, niet formeel kan worden bewezen.

Verklaring woorden kerk en Turing's

JB Rosser gaat in op de notie van "effectieve berekenbaarheid" als volgt: "Het is duidelijk dat het bestaan ​​van CC en RC veronderstelt een nauwkeurige definitie van 'effectieve' 'effectieve methode' wordt hier gebruikt in de nogal bijzondere betekenis van een methode voor elke stap die is. nauwkeurig voorafbepaalde en die zeker het antwoord in een eindig aantal stappen produceren ". Dus de bijwoord-adjectief "effectieve" in een gevoel van '1a: het produceren van een besloten beslissende of gewenste effect "en" in staat is een resultaat ".

In het volgende worden de woorden "effectief berekenbare" zal betekenen "geproduceerd door een intuïtief 'effectief' betekent dan ook" en "effectief Computable" zal betekenen "geproduceerd door een Turing-machine of gelijkwaardig mechanisch apparaat". Turing's "definities" gegeven in een voetnoot in zijn 1939 Ph.D. thesis systemen Logica Gebaseerd op Rangtelwoorden, onder toezicht van de kerk, zijn vrijwel hetzelfde:

De publicatie als volgt worden weergegeven:

Turing stelde het zo:

Geschiedenis

Eén van de belangrijkste problemen voor logici in de jaren 1930 was David Hilbert Entscheidungsproblem, waarin werd gevraagd of er een mechanische procedure voor het scheiden van wiskundige waarheden van wiskundige onwaarheden. Deze zoektocht vereist dat het begrip "algoritme" of "effectieve berekenbaarheid" worden vastgepind, althans goed genoeg om de zoektocht te beginnen. Maar vanaf het begin pogingen Alonzo Kerk begon met een discussie die nog steeds aan deze dag. Werd het begrip "effectieve berekenbaarheid" om een ​​"axioma of axioma's" in een axiomatische systeem, of slechts een definitie die "geïdentificeerde" twee of meer voorstellen, of een empirische hypothese zijn om te worden gecontroleerd door observatie van natuurlijke gebeurtenissen, of of gewoon een voorstel voor omwille van het argument.

Circa 1930-1952

In de loop van het bestuderen van het probleem, de kerk en zijn student Stephen Kleene introduceerde het begrip λ definiëren functies, en ze waren in staat om te bewijzen dat een aantal grote klassen van functies vaak aangetroffen in de getaltheorie waren λ definiëren. De discussie begon toen de kerk voorgesteld Gödel dat men de "effectief berekenbare 'functies moeten definiëren als de λ-definieerbare functies. Gödel was echter niet overtuigd en noemde het voorstel "grondig onbevredigend". Integendeel, in overeenstemming met de kerk, Gödel voorgestelde axiomatiseren het begrip "effectieve berekenbaarheid"; inderdaad, in 1935 een brief aan Kleene, Kerk meldde dat:

Maar Gödel bood geen verdere begeleiding. Uiteindelijk zou hij zijn terugkeer, gewijzigd door Herbrand suggestie suggereren, dat Gödel in zijn 1934 colleges in Princeton NJ had beschreven. Maar "hij niet dacht dat de twee ideeën naar tevredenheid kon worden geïdentificeerd", behalve heuristisch ".

Vervolgens was het noodzakelijk om te identificeren en te bewijzen dat de gelijkwaardigheid van de twee begrippen van effectieve berekenbaarheid. Uitgerust met de λ-calculus en "algemene" recursie, Stephen Kleene met de hulp van Kerk en JB Rosser geproduceerd bewijzen om aan te tonen dat de twee calculi gelijkwaardig zijn. Kerk vervolgens aangepast zijn methoden om het gebruik van Herbrand-Gödel recursie te nemen en vervolgens bleek dat de Entscheidungsproblem is onoplosbaar: er is geen algemene "effectieve berekening" die kunnen bepalen of een formule in zowel de recursive- of λ-calculus is "geldig ".

Vele jaren later in een brief aan Davis, Gödel zou bekennen dat 'hij was, ten tijde van deze lezingen, helemaal niet van overtuigd dat zijn concept van recursie omvatte alle mogelijke recursies ". Door 1963-4 Gödel Herbrand-Gödel recursie en de λ-calculus in het voordeel van de Turing machine als de definitie van "algoritme" of "mechanische procedure" of "formeel systeem" zou verloochenen.

Een hypothese leidt tot een natuurlijke wet ?: In het najaar van 1936 van Alan Turing's papier oraal werd geleverd, maar nog niet in druk verschenen. Aan de andere kant, had Emil Post 1936 papier verscheen en werd gecertificeerd onafhankelijk van Turing's werk. Bericht sterk oneens met de Kerk "identificatie" van effectieve berekenbaarheid met de λ-calculus en recursie, onder vermelding van:

Integendeel, beschouwde hij het begrip "effectieve berekenbaarheid" als slechts een "werkhypothese" die zouden kunnen leiden door inductief redeneren om een ​​"natuurlijke wet" in plaats van "een definitie of een axioma". Dit idee was "scherp" bekritiseerd door de kerk.

Zo bericht in zijn 1936 papier werd ook discontering Kurt Gödel's suggestie om Kerk in 1934-5 dat het proefschrift kan worden uitgedrukt als een axioma of een reeks axioma's.

Turing voegt een andere definitie, Rosser gelijk alle drie: Binnen een korte tijd, Turing's 1936-1937 paper "On Computable Numbers, met een aanvraag bij de Entscheidungsproblem" verscheen. Daarin verklaarde hij een ander begrip "effectieve berekenbaarheid" met de introductie van zijn a-machines. En in een proof-sketch toegevoegd als een "Bijlage" om zijn 1936-1937 papier, Turing toonde aan dat de klassen van de functies gedefinieerd door λ-calculus en Turing machines samenvielen.

In een paar jaar zou Turing voorstellen, zoals de kerk en Kleene vóór hem, dat zijn formele definitie van mechanische computer-agent was de juiste is. Dus door 1939, zowel de kerk en Turing, noch met de kennis van elkaars inspanningen, had individueel voorgesteld dat hun "formele systemen" definities van "effectieve berekenbaarheid" moet zijn; noch omlijst hun verklaringen als scripties.

Rosser formeel geïdentificeerd de drie begrippen-as-definities:

Kleene stelt Thesis Kerk: Dit liet de openlijke uitdrukking van een "thesis" naar Kleene. In zijn 1.943 papier recursieve Predikaten en Quantifiers Kleene voorgesteld zijn "THESIS I":

Kleene gaat op te merken dat:

Kleene's Church-Turing Thesis: Een paar jaar later Kleene zou openlijk te noemen, te verdedigen, en drukken de twee "stellingen" en dan "te identificeren" hen door het gebruik van zijn Stelling XXX:

Latere ontwikkelingen

Een poging om het begrip "effectieve berekenbaarheid" beter geleid Robin Gandy in 1980 tot de machine berekening analyseren begrijpen. Gandy's nieuwsgierigheid, en de analyse van, "cellulaire automaten", "Conway's spel van het leven", "parallellisme" en "kristallijn automaten" leidde hem voor te stellen vier 'principes ... die wordt gesteld, een machine moet voldoen. " Zijn belangrijke vierde, "het causaliteitsbeginsel" is gebaseerd op de "eindige voortplantingssnelheid van effecten en signalen; hedendaagse fysica verwerpt de mogelijkheid van onmiddellijke actie op afstand." Uit deze principes en enkele aanvullende beperkingen een ondergrens van de lineaire afmetingen van elk van de onderdelen een bovengrens voor voortplantingssnelheid, discrete stand van de machine, en deterministisch gedrag maakt hij een stelling dat "wat kan worden berekend door een inrichting bevredigend principes I-IV is berekenbaar. ".

In de late jaren 1990 geanalyseerd Wilfried Sieg Turing en Gandy de begrippen "effectieve berekenbaarheid" met de bedoeling van "het slijpen van de informele begrip, het formuleren van haar algemene kenmerken axiomatisch, en het onderzoeken van de axiomatische raamwerk". In zijn 1997 en 2002 presenteert Sieg een aantal beperkingen op het gedrag van een computor "een mens computing-agent die mechanisch gaat"; Deze beperkingen verminderen:

  • "Er is een vast gebonden op het aantal symbolische configuraties een computor kan onmiddellijk herkennen.
  • "Er is een vast gebonden op het aantal interne toestanden een computor kan worden in.
  • "Een computor kan alleen elementen van een waargenomen symbolische configuratie te wijzigen.
  • "Een computor kan de aandacht van de ene symbolische configuratie naar een andere, maar de nieuwe waargenomen configuraties moet binnen een begrensde afstand van de onmiddellijk eerder waargenomen configuratie.
  • "Het direct herkenbaar configuratie bepaalt uniek de volgende berekening stap"; verklaarde een andere manier: "interne toestand van een computor samen met de waargenomen configuratie fixes unieke wijze de volgende berekening stap en de volgende interne toestand."

De zaak blijft in actieve discussie binnen de academische gemeenschap.

Het proefschrift als definitie

Het proefschrift kan worden gezien als niets anders dan een gewone wiskundige definitie. Reacties door Gödel over het onderwerp suggereren deze visie, bijvoorbeeld "de juiste definitie van mechanische berekenbaarheid werd opgericht zonder enige twijfel door Turing". De argumenten voor het bekijken van de stelling als niet meer dan een definitie wordt expliciet gemaakt door Robert I. Soare binnen waar het ook gesteld dat Turing definitie van computability niet minder waarschijnlijk juist dan de epsilon-delta definitie van een continue functie is.

Succes van het proefschrift

Andere formalismen zijn voorgesteld voor het beschrijven van een effectieve berekenbaarheid / berekenbaarheid. Stephen Kleene voegt aan de lijst van de functies "berekenbare in het systeem S1 'van Kurt Gödel 1936, en Emil Post" canonical systemen ". In de jaren 1950 Hao Wang en Martin Davis sterk vereenvoudigd de one-tape Turing-machine model. Marvin Minsky breidde het model tot twee of meer banden en sterk vereenvoudigd de banden in de "up-down counters", die Melzak en Lambek verder ontwikkeld tot wat nu bekend staat als het model teller machine. In de late jaren 1960 en begin 1970 onderzoekers uitgebreid de teller machine model in het register machine, een nauwe neef van de moderne opvatting van de computer. Andere modellen omvatten combinatorische logica en Markov algoritmen. Gurevich voegt de wijzer machine model van Kolmogorov en Uspensky: "... ze wilde alleen maar om ... te overtuigen zichzelf dat er geen manier om de notie van berekenbare functie uit te breiden."

Al deze bijdragen te betrekken bewijzen dat de modellen zijn computationeel gelijk aan de Turing machine; dergelijke modellen wordt gezegd compleet te Turing. Omdat al deze verschillende pogingen tot formalisering van het concept van "effectieve berekenbaarheid / berekenbaarheid" gelijkwaardige resultaten hebben opgeleverd, wordt nu algemeen aangenomen dat de Church-Turing these juist is. In feite, Gödel voorgestelde iets sterker dan dit; Hij merkte op dat er iets "absolute" over het concept van "berekenbare in S1":

Informele gebruik in bewijzen

Bewijzen in berekenbaarheid theorie beroepen vaak de Church-Turing these op een informele manier om de berekenbaarheid van de functies vast te stellen, terwijl het vermijden van de informatie die zou worden betrokken in een strenge, formeel bewijs. Om vast te stellen dat een functie is berekenbaar door Turing machine, is het meestal voldoende geacht om een ​​informeel Engels beschrijving van hoe de functie effectief kan worden berekend geven, en dan concluderen "Door de Church-Turing thesis" dat de functie is Turing berekenbaar.

Dirk van Dalen het navolgende voorbeeld omwille illustreren deze informele gebruik van de Church-Turing these:

. Om het bovenstaande voorbeeld helemaal rigoureus te maken, zou men zorgvuldig te construeren een Turing Machine, of λ-functie, of zorgvuldig te roepen recursie axioma's, of op zijn best, slim te roepen verschillende stellingen van berekenbaarheid theorie. Maar omdat de berekenbaarheid theoreticus van mening dat Turing berekenbaarheid correct registreert wat effectief kan worden berekend, en omdat een effectieve procedure wordt gespeld uit in het Engels voor het bepalen van de set B, de berekenbaarheid theoreticus aanvaardt dit als bewijs dat de set is inderdaad recursieve.

Als vuistregel moet de Church-Turing these alleen worden ingeroepen om bewijzen te vereenvoudigen in gevallen waarin de schrijver in staat zou zijn, en verwacht dat de lezers ook in staat zijn, gemakkelijk produceren van een rigoureuze bewijzen als men werden geëist.

Variaties

Het succes van de Church-Turing these gevraagd variaties van het proefschrift worden voorgesteld. Bijvoorbeeld, de fysieke Church-Turing these luidt:

De Church-Turing these zegt niets over de efficiëntie waarmee één model van berekening kan een andere te simuleren. Het is bewezen dat bijvoorbeeld een universele Turing machine lijdt slechts een logaritmische vertraging factor in elke Turing machine simuleren. Een dergelijk resultaat is bewezen in het algemeen voor een willekeurige, maar redelijk model van berekening. Een variatie van de Church-Turing these dat deze kwestie behandelt de haalbaarheid Thesis of Complexity-Theoretische Church-Turing Thesis, die niet te wijten is aan de kerk of Turing, maar werd geleidelijk gerealiseerd in de ontwikkeling van de complexiteitstheorie. Het bepaalt:

Het woord "efficiënt" betekent hier tot polynomiale-tijd reducties. Dit proefschrift heette oorspronkelijk Computational Complexity-Theoretische Church-Turing Thesis door Ethan Bernstein en Umesh Vazirani. Het Complexity-Theoretische Church-Turing Thesis, dan stelt dat alle 'redelijke' modellen van berekening op dezelfde klasse van problemen die kunnen worden berekend in polynomiale tijd. Ervan uitgaande dat de vermoedens dat probabilistische polynomiale tijd gelijk deterministische polynomiale tijd, het woord 'probabilistische' is optioneel in de Complexity-theoretische Church-Turing Thesis. Een gelijkaardige thesis, genaamd de Invariant Thesis, werd geïntroduceerd door Cees F. Slot en Peter van Emde Boas. Het verklaart: "Redelijk" machines kunnen elkaar simuleren binnen een polynomiaal begrensde overhead in de tijd en een constante factor overhead in de ruimte. Het proefschrift verscheen oorspronkelijk een papier STOC'84, waarbij het eerste artikel was dat polynomiale tijd overhead tonen en constant-space overhead kunnen tegelijkertijd worden bereikt voor een simulatie van een Random Access apparaat in een Turing machine.

Als BQP wordt aangetoond dat een strikte superset van BPP zijn, zou het de Complexity-theoretische Church-Turing Thesis ongeldig. Met andere woorden, zou er efficiënt quantum algoritmes die taken die niet beschikken over een efficiënte probabilistische algoritmen uit te voeren. Dit zou echter geen afbreuk aan de oorspronkelijke kerk-Turing these, omdat een kwantumcomputer altijd kan worden gesimuleerd door een Turing machine, maar het zou de klassieke Complexity-theoretische Church-Turing these voor efficiency redenen ongeldig. Bijgevolg is de Quantum Complexity-theoretische Church-Turing these luidt:

Eugene Eberbach en Peter Wegner beweren dat de Church-Turing these soms te ruim wordt geïnterpreteerd, onder vermelding van "het bredere bewering dat precies algoritmes leggen wat kan worden berekend ongeldig is." Zij beweren dat de vormen van de berekening niet meegenomen door de stelling relevant zijn vandaag, termen die zij noemen super-Turing berekening.

Filosofische implicaties

Filosofen hebben de Church-Turing these uitgelegd dat gevolgen voor de filosofie van de geest; Echter, veel van de filosofische interpretaties van de Thesis betrekken fundamentele misverstanden van het proefschrift verklaring. B. Jack Copeland zegt dat het een open empirische vraag of er daadwerkelijk deterministische fysische processen die op de lange termijn, ontsnappen simulatie door een Turing machine; Verder stelt hij dat het een open empirische vraag of dergelijke processen zijn betrokken bij de werking van de menselijke hersenen. Er zijn ook een aantal belangrijke open vragen, die de relatie tussen de Church-Turing these en natuurkunde, en de mogelijkheid van hypercomputation dekken. Wanneer toegepast op de natuurkunde, het proefschrift heeft verschillende mogelijke betekenissen:

  • Het universum is gelijk aan een Turing machine; dus, het berekenen van niet-recursieve functies is fysiek onmogelijk. Dit werd genoemd de Sterke Church-Turing these en is een stichting van digitale natuurkunde.
  • Het universum is niet gelijk aan een Turing machine, maar onberekenbare fysieke gebeurtenissen zijn niet "harnessable" voor de bouw van een hypercomputer. Bijvoorbeeld, een universum waarin de natuurkunde impliceert reële getallen, in tegenstelling tot berekenbare reële getallen, zou vallen in deze categorie. De veronderstelling dat fysieke gebeurtenissen onberekenbare niet "harnessable" is aangevochten, echter door een voorgesteld computationele proces dat quantum randomness gebruikt in combinatie met een computationele machine om de computationele stappen van een universele Turing Machine met Turing-onberekenbare afvuren patronen te verbergen.
  • Het universum is een hypercomputer, en is het mogelijk om fysieke apparaten te bouwen om deze eigenschap te benutten en het berekenen van de niet-recursieve functies. Bijvoorbeeld, is een open vraag of alle kwantummechanische gebeurtenissen Turing-berekenbare, hoewel bekend is dat rigoureuze modellen zoals quantum Turingmachines gelijkwaardig deterministische Turingmachines. John Lucas en Roger Penrose hebben gesuggereerd dat de menselijke geest het resultaat van een soort van kwantum-mechanisch verbeterd, "niet-algoritmische" berekening zou kunnen zijn, maar er is geen wetenschappelijk bewijs voor dit voorstel.

Er zijn vele andere technische mogelijkheden die binnen of tussen deze drie categorieën vallen, maar deze dienen om het bereik van het concept te illustreren.

Niet-berekenbare functies

Men kan formeel functies die niet berekenbaar zijn definiëren. Een bekend voorbeeld van een dergelijke functie is het Busy Beaver functie. Deze functie heeft een ingang n en retourneert het grootste aantal symbolen dat een Turing machine met n staat voor het stoppen, indien uitgevoerd zonder ingangssignaal kan afdrukken. Het vinden van een bovengrens aan de drukke bever functie is gelijk aan het oplossen van de stopzetting probleem, een probleem bekend onoplosbaar te zijn door de Turing machines. Omdat de drukke bever functie niet kan worden berekend door de Turing machines, de Church-Turing these stelt dat deze functie niet effectief kan worden berekend door elke methode.

Verschillende rekenmodellen zorgen voor de berekening van de niet-berekenbare functies. Deze staan ​​bekend als hypercomputers. Mark Burgin stelt dat super-recursieve algoritmen, zoals inductieve Turingmachines weerleggen de Church-Turing these. Zijn argument is gebaseerd op een definitie van algoritme breder is dan de gewone een, zodat ook niet-berekenbare functies verkregen uit een aantal inductieve Turingmachines berekenbare worden genoemd. Deze interpretatie van de Church-Turing these wijkt af van de interpretatie die gewoonlijk in berekenbaarheid theorie aanvaard, hierboven besproken. Het argument dat de super-recursieve algoritmen zijn inderdaad algoritmen in de zin van de Church-Turing these is niet gevonden brede acceptatie binnen de berekenbaarheid onderzoeksgemeenschap.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen commentaar

Voeg een reactie

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha