Elementaire bewijs

In de wiskunde, een elementair bewijs is een wiskundig bewijs dat alleen gebruik maakt van basistechnieken. Meer specifiek wordt de term gebruikt getaltheorie te verwijzen naar bewijzen dat er geen gebruik van ingewikkelde analyses maken. Sinds enige tijd werd gedacht dat bepaalde stellingen, zoals de priemgetalstelling, alleen kon worden aangetoond met behulp van "hogere" wiskunde. Echter, na verloop van tijd, veel van deze resultaten zijn bestraft met alleen elementaire technieken.

Hoewel de betekenis niet altijd precies gedefinieerd is, wordt de term vaak gebruikt in wiskundige jargon. Een elementaire bewijs niet noodzakelijkerwijs eenvoudig, in die zin dat ze gemakkelijk te begrijpen: enkele elementaire bewijzen kan heel ingewikkeld.

Priemgetalstelling

Het onderscheid tussen basis- en niet- elementaire bewijzen werd beschouwd als bijzonder belangrijk met betrekking tot het priemgetalstelling. Deze stelling werd voor het eerst aangetoond in 1896 door Jacques Hadamard en Charles Jean de la Vallée-Poussin met behulp van complexe analyse. Veel wiskundigen vervolgens geprobeerd elementaire bewijzen van de stelling te bouwen, zonder succes. Godfrey Harold Hardy ernstig voorbehoud; hij van mening dat het van essentieel belang "diepte" van het resultaat uitgesloten elementaire bewijzen:

Echter, in 1948, Atle Selberg geproduceerd nieuwe methoden die hem en Paul Erdös leidde tot elementaire bewijzen van de priemgetalstelling vinden.

Een mogelijke formalisering van het begrip "elementaire" in verband met een bewijs van een aantal theoretische resultaat is de beperking dat het bewijs kan in Peano rekenkunde worden uitgevoerd. Ook in die zin, deze bewijzen zijn elementaire.

Friedman's gissingen

Harvey Friedman vermoed, "Elke theorema gepubliceerd in de Annals of Mathematics wiens verklaring betreft alleen finitary wiskundige objecten kan worden aangetoond bij elementaire rekentaken." De vorm van de in dit vermoeden genoemd elementaire rekenkunde kunnen worden geformaliseerd door een kleine set van axioma's inzake gehele getallen en wiskundige inductie. Bijvoorbeeld, volgens dit vermoeden, Fermat's laatste stelling moet een elementair bewijs te hebben; Wiles 'bewijs van Fermat's laatste stelling is niet elementaire. Er zijn echter andere eenvoudige uitspraken over rekenkundige zoals het bestaan ​​van geïtereerde exponentiële functies die niet kunnen worden aangetoond in deze theorie.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen commentaar

Voeg een reactie

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha