Gekruist module

In wiskunde, en vooral in homotopietheorie een gekruiste module bestaat uit groepen G en H, waarbij G handelt H by automorphisms en een homomorfisme groepen

dat Equivariante opzichte van de conjugatie werking van G zichzelf:

en ook voldoet aan de zogenaamde Peiffer identity:

Oorsprong

De eerste vermelding van de tweede identiteit voor een gekruist module lijkt te zijn in voetnoot 25 op p. 422 van Whitehead's 1941 paper aangehaald onder, terwijl de term 'gekruist module' wordt geïntroduceerd in zijn 1946 papier hieronder geciteerd. Deze ideeën werden goed werkte in zijn paper 1949 'combinatorische homotopie II', die introduceerde ook de belangrijkste idee van een vrije gekruist module. Whitehead's ideeën op gekruiste modules en hun toepassingen worden ontwikkeld en uitgelegd in het boek van Brown, Higgins, Sivera hieronder vermeld. Sommige generalisaties van het idee van gekruiste module worden in het papier Janelidze.

Voorbeelden

Laat een normale subgroep van groep G. Vervolgens opneming N zijn

is een gekruist module met de vervoeging actie van G op N.

Voor elke groep G, zijn modules over de groep ring overgestoken G-modules met d = 0.

Voor elke groep H, de homomorfisme van H tot Aut verzenden elk element van H met de overeenkomstige binnenste automorfismegroep is een gekruist module.

Gezien elke centrale uitbreiding van groepen

de surjectief homomorfisme

samen met de werking van G op H definieert een gekruist module. Aldus kan de centrale extensies worden beschouwd als bijzonder gekruist modules. Omgekeerd, een gekruist module met surjectief grens bepaalt een centrale extensie.

Als is een puntig paar topologische ruimten, dan is de homotopie grens

uit de tweede groep ten opzichte homotopie fundamentaalgroepen kan worden gezien de structuur van gekruiste module. De functor

voldoet een vorm van het van Kampen stelling, dat het bewaart bepaalde colimits.

Het resultaat van de gekruiste module van een paar kunnen worden geformuleerd als: if

is een puntig fibration van ruimten, dan is de opgewekte kaart van fundamentele groepen

kan worden gezien de structuur van gekruiste module. Dit voorbeeld is bruikbaar in de algebraïsche K-theorie. Er zijn hogerdimensionale versies van dit feit toepassing van n-blokjes ruimten.

Deze voorbeelden suggereren dat gekruist modules kunnen worden gezien als "2-dimensionale groepen". In feite kan dit idee precies worden gemaakt met behulp van de categorie theorie. Aangetoond kan worden dat een gekruiste module is in wezen hetzelfde als een categorische groep 2 of groep: dat wil zeggen een groep object in de categorie van categorieën of equivalent Als object in de categorie groepen. Dit betekent dat het begrip gekruiste module is een versie van het resultaat van het mengen van de begrippen "groep" en "categorie". Deze equivalentie belangrijk hogerdimensionale versies groepen.

Classificeren ruimte

Elke gekruist module

een ruimte classificeren BM met de eigenschap dat de homotopie groepen Coker d, in afmeting 1, Ker d in afmeting 2 en 0 boven 2. Het is mogelijk om de homotopie klassen van kaarten beschrijven van een CW-complex BM. Dit maakt het mogelijk dat homotopie 2-types zijn volledig beschreven door gekruiste modules tonen.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen commentaar

Voeg een reactie

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha