-Klauw vrije grafiek

In de grafentheorie, een gebied van wiskunde, een klauw vrije grafiek is een grafiek die niet een klauw als een geïnduceerde subgraaf heeft.

Een klauw is een andere naam voor de volledige bipartiete grafiek K1,3. A-klauw vrije grafiek is een grafiek waarin geen geïnduceerde subgraaf is een klauw; dat wil zeggen, elke subset van de vier hoekpunten heeft andere dan slechts drie randen aansluiten van hen in dit patroon. Equivalente wijze een klauw vrije grafiek is een grafiek waarin de buurt van elke vertex is het complement van een driehoek vrije grafiek.

Klauw-vrije grafieken werden aanvankelijk bestudeerd als een veralgemening van de lijn grafieken, en kreeg extra motivatie door middel van drie belangrijke ontdekkingen over hen: het feit dat alle-klauw vrij verbonden grafieken van zelfs bestelling perfect matchings, de ontdekking van polynomiale tijd algoritmen voor het vinden van een maximale onafhankelijke sets in-klauw vrije grafieken, en de karakterisering van-klauw vrije perfect grafieken. Zij zijn het onderwerp van honderden wiskundig onderzoek papers en diverse enquêtes.

Voorbeelden

  • De lijngrafiek L van elke grafiek G-klauw vrij; L heeft een hoekpunt voor elke rand van G, en hoekpunten zijn aangrenzende in L indien de overeenkomstige randen delen een eindpunt in G. Een lijngrafiek L een klauw niet kan bevatten, want als drie randen E1, E2 en E3 in G alle eindpunten aandeel met een andere rand e4 vervolgens het vakje principe ten minste twee van e1, e2 dienen en e3 delen een van de eindpunten met elkaar. Lijngrafieken kan worden gekarakteriseerd in termen van negen verboden subgraphs; de klauw is de eenvoudigste van deze negen grafieken. Deze typering indien uit de oorspronkelijke motivatie voor het bestuderen-klauw vrije grafieken.
  • De de Bruijn grafieken bit overlappingen tussen twee strings) zijn klauw-vrij. Een manier om dit aan te tonen is via de opbouw van de Bruijn grafiek van n-bit strings de lijngrafiek van de Bruijn grafiek voor bit strings.
  • Het complement van elke driehoek vrije grafiek-klauw gratis. Deze grafieken omvatten een speciaal geval elke volledige grafiek.
  • Proper interval grafieken, het interval grafieken gevormd als knooppunt grafieken van de families van de intervallen waarin geen interval bevat een ander interval, zijn klauw-vrij, omdat vier goed kruisende intervallen niet kan snijden in het patroon van een klauw.
  • De Moser spindel, een zeven-vertex grafiek gebruikt om een ​​ondergrens voor de chromatische nummer van het vliegtuig te bieden, is klauw-vrij.
  • De grafieken van verscheidene veelvlakken en polytopes zijn klauw vrij, zoals de grafiek van de tetraëder en meer algemeen van elke simplex, de grafiek van de octaëder en meer algemeen van elke kruis polytoop, de grafiek van de Icosaëder, en de grafiek van de 16-cellen.
  • De Schläfli grafiek, een sterk reguliere grafiek met 27 hoekpunten, is-klauw gratis.

Erkenning

Het is eenvoudig te controleren of een bepaalde grafiek met hoekpunten n en m randen claw-vrije tijdig O, door elke 4-tupel hoekpunten te bepalen of ze een klauw induceren. Enigszins efficiënter, maar complicatedly kan men testen of een grafiek klauw vrij van controle voor elk hoekpunt van de grafiek, dat het complement grafiek van zijn buren een driehoek bevat. Een grafiek bevat een driehoek als en alleen als de kubus zijn adjacentiematrix bevat nul diagonaal element, dus het vinden van een driehoek kan in dezelfde asymptotische tijdgebonden als n x n matrixvermenigvuldiging worden uitgevoerd. Daarom is het gebruik van de koperslager-Winograd algoritme, de totale tijd voor deze-klauw vrije algoritme zou O. zijn

Kloks, Kratsch & amp; Müller constateren dat in een klauw-vrije grafiek, elk hoekpunt heeft hooguit 2√m buren; voor anderszins Turan stelling de buren van de top niet voldoende resterende randen aan het complement van een driehoek vrij grafiekvorm. Deze waarneming maakt het controleert elke buurt in de snelle matrixvermenigvuldiging gebaseerd algoritme hierboven beschreven worden uitgevoerd in dezelfde asymptotische tijdgebonden als 2√m x 2√m matrixvermenigvuldiging of sneller hoekpunten met zelfs lagere graden. Het slechtste geval voor dit algoritme gebeurt wanneer Ω hoekpunten hebben Ω buren elkaar, en de resterende hoekpunten hebben weinig buren, zodat de totale tijd is O = O.

Opsomming

Omdat klauw-vrije grafieken omvatten complementen van driehoek-vrije grafieken, groeit het aantal klauw-vrije grafieken n hoekpunten minstens zo snel als het aantal driehoek-vrije grafieken, exponentieel in het kwadraat van n. Het aantal aangesloten klauw-vrije grafieken n knooppunten voor n = 1, 2, ... zijn

Wanneer de grafieken mogen worden afgekoppeld, de aantallen grafieken nog groter: ze zijn

Een techniek van Palmer, Read & amp; Robinson maakt het aantal-klauw vrij kubische grafieken zeer efficiënt te rekenen ongewoon Grafieken opsomming problemen.

Matchings

Sumner en onafhankelijk, Las Vergnas bewezen dat elke klauw-vrije verbonden grafiek met een even aantal hoekpunten heeft een perfecte afstemming. Dat wil zeggen, er bestaat een set randen in de grafiek, zodat elk hoekpunt een eindpunt van precies één van de afgedekte randen. Het bijzondere geval van dit resultaat lijngrafieken impliceert dat in elk grafiek met een even aantal ribben kan men de randen verdelen in twee paden van lengte. Perfect aanpassingen te kunnen worden gebruikt om een ​​andere karakterisering van de klauw vrij grafieken geven: zij exact grafieken waarin elke verbinding geïnduceerde subgraaf zelfs teneinde een perfecte afstemming.

Sumner's bewijs toont, sterker, dat in elke verbonden-klauw vrije grafiek kan men een paar aangrenzende hoekpunten de verwijdering van die vertrekt de resterende grafiek verbonden vinden. Om dit aan te tonen, Sumner vindt een paar hoekpunten u en v die zo ver mogelijk in de grafiek en kiest w een buur van v die even lang u mogelijk zijn; Hij laat zien, kan niet v of w Elk kortste pad van een ander knooppunt naar u liggen, zodat de verwijdering van v en w verlaat de resterende grafiek aangesloten. Herhaaldelijk verwijderen aangepaste paren hoekpunten vormt op deze wijze een perfecte afstemming in de gegeven-klauw vrij graph.

Dezelfde proef idee geldt algemeen als u enig vertex, v is elk hoekpunt dat maximaal verre van u en w elk buurland van v die maximaal lang u. Verder heeft het verwijderen van v en w de grafiek geen andere afstanden veranderen van u. Derhalve kan de werkwijze het vormen van een bijpassende door het vinden en verwijderen pairs vw die maximaal lang u worden uitgevoerd door één postorder traversal een breedte eerste zoekboom van de grafiek, geworteld in u, in lineaire tijd. Chrobak, Naor & amp; Novick een alternatief lineair algoritme, gebaseerd op depth-first search, alsmede efficiënte parallelle algoritmen voor hetzelfde probleem.

Faudree, Flandrin & amp; Ryjáček lijst verschillende verwante resultaten, waaronder de volgende: -aangesloten K1-r vrij grafieken van zelfs bestelling perfect matchings voor elke r ≥ 2; klauw-vrije grafieken van oneven orde met hooguit een graad-één vertex kan worden opgedeeld in een oneven cyclus en een bijpassende; voor elke k, dat ten hoogste de helft van de minimale een klauw vrij grafiek waarbij ofwel k of het aantal hoekpunten zelfs de grafiek een k-factor; en, als een klauw vrije grafiek wordt -Connected, dan is elke k-edge matching kan worden uitgebreid tot een perfecte afstemming.

Onafhankelijke sets

Een onafhankelijke set in een lijngrafiek komt overeen met een bijpassende in de onderliggende grafiek, een set van randen waarvan er geen twee delen een eindpunt. Zoals Edmonds toonde, kan een maximale matching in een grafiek te vinden in polynomiale tijd; Sbihi uitgebreid dit algoritme om een ​​die een maximum onafhankelijke verzameling in een klauw-vrije grafiek berekent. Muntachtig onafhankelijk ontvangen alternatieve verlenging van Edmonds 'algoritmes claw-vrije grafieken, die het probleem transformeert in een van op geschikte per extra grafiek verkregen uit de input-klauw vrij graph. Minty benadering kan ook worden toegepast op te lossen polynomiaal het meer algemene probleem van het vinden van een onafhankelijke set maximumgewicht en generalisaties van deze resultaten bredere klassen grafieken zijn eveneens bekend.

Zoals Sbihi waargenomen, als ik is een onafhankelijke set in een klauw vrije grafiek, dan is elk hoekpunt van de grafiek kan maximaal twee buren in I: drie buren zou een klauw te vormen. Sbihi noemt hoekpunt verzadigde als het twee buren in I en onverzadigde als het niet in I maar heeft minder dan twee buren I. Uit Sbihi de vaststelling dat wanneer I en J zijn beide onafhankelijke groepen, de grafiek geïnduceerd door I ∪ J moet graad van ten hoogste twee hebben; dat wil zeggen, het is een unie van paden en cycli. In het bijzonder, als ik een niet-maximale onafhankelijke set, het verschilt van elke maximale onafhankelijke set door cycli en het verhogen van paden, veroorzaakte paden die afwisselend hoekpunten in I en hoekpunten niet in I, en waarvoor beide eindpunten zijn onverzadigd. De symmetrische verschil van I met een vermeerderend pad is een grotere onafhankelijke set; Sbihi algoritme verhoogt herhaaldelijk op de grootte van een onafhankelijke set door te zoeken naar het verhogen van wegen tot er geen meer kan worden gevonden.

Zoeken naar een vermeerderend pad wordt bemoeilijkt door het feit dat een weg mogelijk niet te verhogen indien een rand tussen twee hoekpunten die niet in I, zodat het geen veroorzaakte pad bevat. Gelukkig kan dit alleen gebeuren in twee gevallen: de twee aangrenzende hoekpunten kunnen de eindpunten van het pad, of ze kunnen twee stappen verwijderd van elkaar; andere nabijheid zou leiden tot een klauw. Aangrenzende eindpunten kunnen worden vermeden door het tijdelijk verwijderen van de buren van v bij het zoeken naar een pad vanaf een vertex v; Als geen pad wordt gevonden, kan v worden verwijderd uit de grafiek voor de rest van het algoritme. Hoewel Sbihi beschrijft niet in deze voorwaarden, kan het probleem resteren na deze vermindering in termen van een schakelaar grafiek worden beschreven, een ongerichte graaf waarin de randen incident elk hoekpunt wordt verdeeld in twee subsets en waarbij paden door het hoekpunt zijn beperkt tot één rand gebruiken vanaf elke subset. Men kan een schakelaar grafiek die als hoekpunten heeft de onverzadigde en verzadigde hoekpunten van de gegeven-klauw vrije grafiek, met een rand tussen twee hoekpunten van de schakelaar grafiek wanneer ze nonadjacent in de klauw vrije grafiek en er een lengte- vormen twee pad tussen hen die door een hoekpunt van I. geeft de twee subsets van randen aan elk hoekpunt gevormd door de twee hoekpunten van I dat deze lengte twee paden passeren. Een eenvoudige pad in deze schakelaar grafiek tussen twee onverzadigde hoekpunten komt overeen met een vermeerderend pad in de oorspronkelijke grafiek. De schakelaar graaf kwadratische complexiteit eenvoudige paden kan worden gevonden in lineaire tijd en O verbeteringsmiddel paden kan gevonden moeten worden in de loop van de totale algoritme. Daarom Sbihi algoritme loopt in O totale tijd.

Kleuring, klieken, en overheersing

Een perfect grafiek is een grafiek waarin de chromatische aantal en de grootte van de maximale kliek gelijk, en waarbij deze gelijkheid blijft in elk geïnduceerde subgraaf. Het is nu bekend dat perfect grafieken kan worden gekarakteriseerd als de grafieken die niet beschikken over als geïnduceerde subgraphs ofwel een oneven cyclus of het complement van een vreemde cyclus. Echter, voor vele jaren dit bleef een onopgelost vermoeden, alleen bewezen voor speciale subklassen van grafieken. Eén van deze subklassen was de familie van-klauw vrije grafieken: het werd ontdekt door verschillende auteurs die-klauw vrije grafieken zonder oneven cycli en oneven gaten zijn perfect. Perfect-klauw vrije grafieken kan worden erkend in polynomiale tijd. In een perfecte-klauw vrije grafiek, de buurt van elk hoekpunt vormt het complement van een bipartiete grafiek. Het is mogelijk om de kleur perfect-klauw vrije grafieken, of om een ​​maximale klieken vinden in hen, in polynomiale tijd.

Wanneer een klauw vrij graph niet perfect is, is NP-moeilijk zijn grootste kliek vinden. Ook is NP-moeilijk om een ​​optimale kleuring van de grafiek te vinden, omdat dit probleem veralgemeent de NP-moeilijk probleem van het berekenen van de chromatische index van een grafiek. Om dezelfde reden is NP-moeilijk een kleuring die een onderlinge verhouding beter dan 03/04 behaalt vinden. Toch kan een benadering verhouding van beide worden bereikt door een gulzige kleuren algoritme, omdat de chromatische aantal een klauw vrije grafiek groter is dan de helft van de maximale.

Hoewel niet iedere klauw-vrije grafiek is perfect, klauw vrije grafieken voldoen ander pand, in verband met de perfectie. Een grafiek wordt genoemd overheersing perfect als het een minimum dominante set die onafhankelijk is, en als dezelfde eigenschap bezit in al haar veroorzaakte subgraphs. -Klauw vrije grafieken hebben deze eigenschap. Om dit te zien, laat D zijn een dominante in een klauw vrije grafiek, en stel dat v en w zijn twee aangrenzende hoekpunten in D; dan is de set van hoekpunten gedomineerd door v maar niet door w moet een kliek zijn. Als elke vertex in deze kliek al wordt gedomineerd door minstens één ander lid van D, dan v kan worden verwijderd produceren van een kleinere onafhankelijke dominante set, en anderszins v kan worden vervangen door een van de undominated hoekpunten in zijn kliek produceren van een dominante set met minder adjacencies. Door het herhalen van deze vervanging proces men uiteindelijk bereikt een dominante set niet groter dan D, dus in het bijzonder bij de start set D is een set van dit proces minimum dominerende vormt een even kleine onafhankelijke dominante set.

Desondanks dominantie perfectness eigenschap is NP-moeilijk om de grootte van de in een klauw vrij graph originele opvallende bepalen. Echter, in tegenstelling tot de situatie voor meer algemene klassen van grafieken, het vinden van de minimale dominante set of de minimale verbonden dominante set in een klauw vrije grafiek is een vaste parameter handelbaar: het kan worden opgelost in de tijd begrensd door een polynoom in de omvang van de grafiek, vermenigvuldigd met een exponentiële functie van de dominante set grootte.

Structuur

Chudnovsky & amp; Seymour overzicht van een reeks documenten waarin ze blijken een structuur theorie voor klauw vrije grafieken, analoog aan de grafiek structuur stelling voor kleine gesloten grafiek gezinnen bewezen door Robertson en Seymour, en aan de structuur theorie voor perfecte grafieken die Tsjoednovski, Seymour en hun co-auteurs gebruikten voor de sterke perfecte grafiek stelling bewijzen. De theorie is te complex om te beschrijven in detail, maar om een ​​smaak van te geven, is het voldoende om een ​​overzicht van twee van hun resultaten. Ten eerste, voor een speciale subklasse van klauw vrije grafieken waarin zij noemen quasi-lijngrafieken zij dat elke dergelijke grafiek één van twee vormen:

  • Een fuzzy ronde interval grafiek, een klasse van grafieken vertegenwoordigd meetkundig door punten en bogen op een cirkel, generaliseren goede cirkelboog grafieken.
  • Een grafiek opgebouwd uit een Multigraph van elke rand te vervangen door een fuzzy lineaire interval grafiek. Dit veralgemeent de constructie van een lijngrafiek, waarin elke rand van het Multigraph vervangen door een hoekpunt. Fuzzy lineaire interval grafieken zijn dezelfde wijze als fuzzy cirkelvormige interval grafieken, maar op een lijn in plaats van een cirkel.

Chudnovsky en Seymour classificeren willekeurige verbonden-klauw vrije grafieken in een van de volgende:

  • Zes specifieke subklassen van-klauw vrije grafieken. Drie van deze zijn lijn grafieken, goede cirkelboog grafieken, en de geïnduceerde subgraphs een icosahedron; de andere drie betrokken aanvullende definities.
  • Grafieken gevormd in vier eenvoudige manieren van kleinere klauw vrije grafieken.
  • Antiprismatic grafieken, een klasse van dichte grafieken gedefinieerd als de klauw vrij grafieken waarin de vier hoekpunten induceren een subgraaf met ten minste twee randen.

Veel van het werk in hun structuur theorie gaat om een ​​nadere analyse van antiprismatic grafieken. De Schläfli grafiek, een klauw vrij sterk reguliere grafiek met parameters SRG, speelt een belangrijke rol in dit deel van de analyse. Deze structuur theorie heeft geleid tot nieuwe ontwikkelingen in polyhedrale combinatorics en nieuwe grenzen aan het aantal chromatische-klauw vrij grafieken, alsmede nieuwe vaste-parameter-handelbaar algoritmen voor domineren sets-klauw vrij grafieken.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen commentaar

Voeg een reactie

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha