Rationele mapping

In de wiskunde, in het bijzonder het deelgebied van de algebraïsche meetkunde, een rationele plan is een soort van gedeeltelijke functie tussen algebraïsche variëteiten. Dit artikel maakt gebruik van de conventie die rassen zijn onherleidbaar.

Definitie

Formele definitie

Formeel, een rationele kaart tussen de twee varianten is een equivalentie klasse van paren waarin een morfisme van rassen uit een open set aan, en twee van dergelijke paren en als gelijkwaardig worden beschouwd indien en samenvallen op het kruispunt. Het bewijs dat dit definieert een equivalentie relatie is gebaseerd op de volgende lemma:

  • Als twee morfismen van rassen gelijk zijn op een aantal niet-lege open verzameling, dan zijn ze gelijk.

 Men zegt birationale zijn als er een rationele map die zijn inverse, waarbij het preparaat wordt in bovengenoemde zin.

Het belang van de rationale afbeeldingen algebraïsche meetkunde is de verbinding tussen deze kaarten en kaarten tussen de functionele gebieden en. Zelfs een vluchtig onderzoek van de definities onthult een overeenkomst tussen die van de rationele kaart en die van de rationele functie; in feite, een rationele functie is slechts een rationele plan waarvan reeks is de projectieve lijn. Samenstelling van functies laat ons dan naar "terug te trekken" rationale functies langs een rationele plan, zodat een enkele rationele kaart induceert een homomorfisme van de velden. Met name de volgende stelling staat centraal: de functor uit de categorie van de projectieve variëteiten met dominante rationele kaarten tot de categorie van eindig voortgebrachte gebied uitbreidingen van het veld voet met omgekeerde integratie van extensies als morfismen, die elk ras associeert zijn functie veld en elke kaart om de bijbehorende kaart van de functie velden, is een gelijkwaardigheid van categorieën.

Een voorbeeld van birationale gelijkwaardigheid

Twee variëteiten worden gezegd birationally gelijkwaardig te zijn als er een birationale kaart tussen hen; Dit theorema stelt dat birationale gelijkwaardigheid van rassen is identiek aan isomorfisme hun functie gebieden als uitbreidingen van het veld basis. Dit is enigszins liberaler dan de notie van isomorfisme van rassen, in dat er bestaan ​​rassen die birationale maar niet isomorf zijn.

De gebruikelijke voorbeeld is dat birationale de verscheidenheid in bestaande uit de verzameling van projectieve punten zodanig, maar niet isomorf. Inderdaad, twee lijnen elkaar snijden, maar de lijnen gedefinieerd en kan niet kruisen aangezien hun snijpunt zouden elk coördinaten nul. Om het gebied de functie berekenen van passeren we een affine deelverzameling waarin; in projectieve ruimte betekent dit dat we kunnen nemen en daarom identificeren deze subgroep met de affiene -vlak. Daar de coördinatie van de ring is

via de kaart. En het gebied van de fracties van de laatste is gewoon, isomorf aan die van. Merk op dat op geen enkel moment hebben we eigenlijk produceren een rationele plan, hoewel het traceren door middel van het bewijs van de stelling is het mogelijk om dit te doen.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen commentaar

Voeg een reactie

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha