Triangulated categorie

In de wiskunde, een driehoekige categorie is een categorie samen met extra structuur, een "vertaling functor" en een klasse van "onderscheiden driehoeken". Belangrijke voorbeelden zijn de verkregen categorie een abelse categorie en stabiele homotopie categorie van spectra, die beide dragen de structuur van een driehoekige categorie op natuurlijke wijze. De onderscheiden driehoeken doen denken aan de lange exacte sequenties van homologie; ze spelen een rol vergelijkbaar met die van de korte exacte sequenties in abelse categorieën.

Een t-categorie is een driehoekig categorie met een T-structuur.

Geschiedenis

De notie van een afgeleide categorie werd geïntroduceerd door Jean-Louis Verdier in zijn Ph.D. proefschrift, gebaseerd op de ideeën van Grothendieck. Hij het idee van een driehoekige categorie, gebaseerd op de waarneming dat een afgeleide categorie had een aantal speciale "driehoeken" gedefinieerd ook, door het schrijven van axioma's voor de basiseigenschappen van deze driehoeken. Een zeer gelijkaardige set van axioma werd afgewaardeerd op ongeveer dezelfde tijd door Dold en Puppe.

Definitie

Een vertaling functor op een categorie D is een automorfisme T van D naar D. Men gebruikt meestal de notatie en ook voor morfismen van X naar Y.

Een driehoek bestaat uit 3 objecten X, Y en Z, tezamen met morfismen u: X → Y, v: Y → Z en W: Z → X. driehoeken algemeen geschreven in de vorm ontrafelde:

of

in het kort.

Een driehoekige categorie is een additief categorie D met een vertaling functor en een klasse van driehoeken, genaamd onderscheiden driehoeken, die voldoet aan de volgende eigenschappen ,, en. (Deze axioma's zijn niet volledig onafhankelijk, aangezien kan worden afgeleid uit de anderen).

TR 1

  • Voor elk object X, de volgende driehoek is onderscheiden:
  • Voor elke morfisme u: X → Y, is er een object Z passend in een voorname driehoek
  • Elke driehoek isomorf een voorname driehoek onderscheiden. Dit betekent dat als

TR 2

Als

is een vooraanstaand driehoek, dan zijn de twee gedraaide driehoeken

en

TR 3

Gegeven een kaart tussen twee morfismen, is er een morfisme tussen hun mapping kegels (die bestaan ​​bij axioma), dat maakt alles pendelen. Dit betekent dat in het volgende schema bestaat er een map h waardoor alle velden pendelen:

TR 4: De achtvlakkige axioma

Stel we hebben morfismen u: X → Y en v: Y → Z, dus dat hebben we ook een samengesteld morfisme vu: X → Z. Vorm onderscheiden driehoeken voor elk van deze drie morfismen volgens TR 2. De achtvlakkige axioma stelt dat de drie mapping kegels kan worden gemaakt in de hoekpunten van een voorname driehoek zodat "alles pendelt".

Meer formeel gezien onderscheiden driehoeken

bestaat er een onbekend driehoek

zoals dat

Dit axioma wordt de "octaëdrische axioma", omdat het tekenen van alle objecten en morfismen geeft het skelet van een octaëder, vier waarvan de gezichten onderscheiden driehoeken. De presentatie is hier Verdier eigen en verschijnt voorzien octaëdrische diagram in. In het volgende diagram, u en v de gegeven morfismen, en het gegronde letters zijn de kegels van verschillende kaarten. Verschillende pijlen gemarkeerd met aan te geven dat zij van "graad 1"; bijv. de kaart van Z 'X is in feite uit Z' T. De octaëdrische axioma stelt vervolgens het bestaan ​​van de kaarten f en g vorming van een voorname driehoek, en zo dat f en g vorm commutatieve driehoeken in de andere gezichten die ze bevatten:

Twee verschillende beelden verschijnen ook de eerste presenteren). De eerste bevat de bovenste en onderste piramides van bovengenoemde octaëder en stelt dat een lagere piramide, kunnen we in een bovenste piramide vullen zodat de twee paden van Y naar Y 'en van Y' naar Y, gelijk. De driehoekjes gemarkeerde + zijn commutatieve en die gemarkeerd met "d" worden onderscheiden:

Het tweede diagram is een meer innovatieve presentatie. Onderscheiden driehoeken lineair gepresenteerd, en het diagram benadrukt dat de vier driehoeken in de "octaëder" zijn verbonden door een serie kaarten driehoeken, waar drie driehoeken gegeven en het bestaan ​​van de vierde wordt geclaimd. We passeren tussen de eerste twee van "scharnierende" van X, de derde draaiend rond Z, en de vierde draaiend rond X '. Alle behuizingen in dit diagram zijn commutatief maar de andere commutatieve plein, de uiting van de gelijkheid van de twee paden van Y 'naar Y, is niet evident. Alle pijlen "off the edge" zijn graad 1:

Dit laatste diagram ook een nuttige intuïtieve interpretatie van de octaëdrische axioma. Aangezien in triangulated categorieën driehoeken de rol van de exacte sequenties, kunnen we doen alsof waarbij het bestaan ​​van de laatste driehoek uitdrukt enerzijds

Putting deze samen, de octaëdrische axioma beweert de "derde isomorfisme theorema":

Wanneer de driehoekige categorie K enige abelian categorie A, en wanneer X, Y, Z zijn voorwerpen A geplaatst graad 0 in het gelijknamige complexen, en wanneer de kaart X → Y, Y → Z injecties in A, dan de kegels zijn letterlijk de bovenstaande quotiënten en de schijn wordt waarheid.

Tenslotte Neeman geeft een manier van uitdrukken van de octaëdrische axioma behulp van een twee-dimensionale commutatieve diagram met 4 rijen en 4 columns.Beilinson, Bernstein en Deligne ook generalisaties van de octaëdrische axioma geven.

Zijn er betere axioma's?

Sommige deskundigen vermoeden) dat de categorieën driehoekige zijn niet echt de "juiste" concept. De voornaamste reden is dat de toewijzing van een kegel morfisme uniek slechts tot een niet-unieke isomorfisme. In het bijzonder het in kaart brengen van een kegel morfisme niet in het algemeen afhankelijk van de morfisme functorially (let op de non-uniciteit in axioma, bijvoorbeeld). Deze niet-uniekheid is een potentiële bron van fouten, ondermeer voorkomen in veel gevallen een driehoekige categorie niet het afgeleide categorie kern. De axioma's Wel lijken om adequaat in de praktijk werken, en er is momenteel geen overtuigende vervanging. Een aantal voorstellen zijn ontwikkeld, echter, zoals derivators dat Grothendieck beschreven in zijn lange, onvoltooide en ongepubliceerde manuscript uit 1991.

Anderzijds wordt de homotopie categorie een stabiele ∞-categorie canoniek driehoekig. Bovendien is een stabiele ∞-categorie nature codeert geheel hiërarchie van compatibiliteit voor zijn homotopie categorie onderaan die zit de octaëdrische axioma. Zo strikt sterker de gegevens van een stabiele ∞-categorie dan de gegevens van een triangulatie van zijn homotopie categorie te geven; Maar in de praktijk vrijwel alle triangulated categorieën die in wezen voordoen, omdat per definitie stabiel ∞-categorieën.

Voorbeelden

1. Vectorruimten vormen een elementair Triangulated categorie waarin X = X voor X. A onderscheiden driehoek is een sequentie die exact op X, Y en Z.

2. Als A een abelse categorie, dan is de homotopie categorie K heeft als objecten van alle complexen van objecten van A, en als morfismen de homotopie klassen van morfismen van complexen. Dan is K een driehoekige categorie; de voorname driehoeken bestaan ​​uit driehoeken isomorf een morfisme met mapping kegel. Het is mogelijk om variaties maken gebruik van complexen die worden begrensd links of rechts of aan beide zijden.

3. De afgeleide categorie A is een driehoekige categorie; het is gemaakt van K door lokaliseren in de klasse van de quasi-isomorfismen, een proces dat we nu te beschrijven.

Onder bepaalde redelijke voorwaarden op het lokaliseren set S, is een lokalisatie van een driehoekige categorie ook triangulated. In het bijzonder, deze voorwaarden zijn:

  • S is gesloten onder alle vertalingen, en
  • Voor elke twee driehoeken en pijlen als in de axioma's, als deze pijlen zijn zowel in de S dan de beloofde pijl voltooien van de kaart van driehoeken is ook in S.

S wordt dan gezegd "verenigbaar met de triangulatie" te zijn. Het is niet moeilijk te zien dat dit het geval wanneer S de klasse van quasi-isomorfismen K, zodat met name de afgeleide categorie A, die de lokalisatie van K ten opzichte quasi-isomorfismen wordt triangulated.

4. stabiele homotopie categorie De topologist is een ander voorbeeld van een driehoekige categorie. De objecten zijn spectra, de ophanging is de vertaling functor en de cofibration sequenties zijn de onderscheiden driehoeken.

5. In het modulair vertegenwoordiging theorie van een eindige groep, de stabiele module categorie is nog een ander voorbeeld. De objecten zijn de voorstellingen van de morfismen zijn de gebruikelijke modulo die factor via projectieve objecten. Meer in het algemeen, een dergelijke constructie is het mogelijk voor elke Frobenius algebra.

Properties

Veronderstel D is een Triangulated categorie.

Gegeven een voorname driehoek

D in de samenstelling van elke twee van de betrokken morfismen is 0, dwz vu = 0, wv = 0, Uw = 0, etc.

Gegeven een morfisme u: X → Y, TR 1 staat garant voor het bestaan ​​van een mapping kegel Z invullen van een voorname trinagle. Twee mapping kegels van U isomorf, maar de isomorfisme is niet uniek.

Iedere monomorfisme in D is een sectie en elke epimorfisme is een terugtrekking.

Cohomologie in triangulated categorieën

Triangulated categorieën toe een notie van cohomologie en elke driehoekige categorie omvat een groot aantal cohomologische functoren. Per definitie is een functor F uit een driehoekige categorie D in een abelse categorie A is een cohomologische functor als voor elke onderscheiden driehoek

die kan worden geschreven als dubbel oneindige reeks van morfismen

de volgende sequentie een lange exacte volgorde:

In een algemeen driehoekige categorie wij zijn gegarandeerd dat de functors voor elk object A, zijn cohomologische, met de waarden in de categorie van abelse groepen. Dat wil zeggen, we bijvoorbeeld een exacte volgorde

De functors zijn ook geschreven

in analogie met de Ext functors in afgeleide categorieën. Zo hebben we de bekende reeks

Exact functors en equivalenties

Een exacte functor van een driehoekige categorie D tot een driehoekige categorie E is een additief functor F: D → E, die losjes gesproken pendelt met vertaling en kaarten onderscheiden driehoeken onderscheiden driehoeken.

Met name de exacte functor wordt geleverd met een natuurlijk isomorfisme η: FT → TF, zodanig dat wanneer

is een voorname driehoek in D,

is een voorname driehoek in E.

Een exacte gelijkwaardigheid is een exacte functor F: D → E, dat is ook een gelijkwaardigheid van categorieën; In dit geval bestaat er een exacte functor G: E → D zodanig dat FG en GF zijn natuurlijk isomorf aan de respectieve identificeren functoren. D en E zijn gelijkwaardig triangulated categorieën genoemd; Voor de meeste praktische doeleinden zij identiek.

t-structuren

Verdier introduceerde triangulated categorieën om afgeleide categorieën te plaatsen in een categorie-theoretische context: voor elke abelse categorie A bestaat er een driehoekige categorie D, met A als een volledige subcategorie, en waarin we kunnen afgeleid functoren te bouwen. Verschillende abelse categorieën kunnen leiden tot gelijkwaardige afgeleide categorieën geven, zodat het onmogelijk is om een ​​reconstructie van de driehoekige categorie D.

Een gedeeltelijke oplossing voor dit probleem is een t-structuur op te leggen aan de driehoekige categorie D. Verschillende t-structuren op D geven aanleiding tot verschillende categorieën abelse erin geven. Deze gedachte werd gepresenteerd.

Het prototype is de t-structuur op de afgeleide categorie D van een abelse categorie A. Voor elke n zijn er natuurlijk vol subcategorieën en bestaande uit complexen waarvan cohomologie is "onder begrensd" of "begrensd boven 'n, respectievelijk. Aangezien voor elk complex X, we hebben, worden deze aan elkaar gerelateerd:

Deze subcategorieën hebben ook de volgende eigenschappen:

  • ,
  • Elk object Y kan worden ingebed in een elegant driehoek met,

Een t-inrichting op een driehoekige categorie bestaat uit de volledige subcategorieën die voldoet aan bovenstaande voorwaarden. In Faisceaux Pervers een driehoekig categorie voorzien van een t-structuur een t-categorie genoemd.

De kern of het hart van een t-structuur is de categorie. Het is een abelse categorie, terwijl een driehoekige categorie is additief, maar bijna nooit abelian. De kern van een t-structuur aan de afgeleide categorie A kan worden gezien als een soort verwrongen versie A, die soms heeft betere eigenschappen. Bijvoorbeeld, de categorie van perverse schoven is de kern van een bepaalde T-structuur aan de afgeleide categorie van de categorie van schoven. Over een ruimte met singulariteiten, de categorie van de perverse schoven is vergelijkbaar met de categorie van schoven, maar gedraagt ​​zich beter.

Een eenvoudig voorbeeld van een t-structuur is de "natuurlijke" een op de afgeleide categorie D enkele abelian categorie, waarbij de volledige subcategorieën complexen waarvan cohomologies verdwijnen in graden kleiner of groter dan 0. Deze t-structuur de volgende Kenmerken:

  • De inkorting functors, of in feite voor alle n, die worden verkregen door het vertalen van het argument van de oorspronkelijke twee functoren. Abstracte wijze zijn de linker en rechter geadjungeerde adjoint respectievelijk de opneming van functors in D. Daarnaast is de afknotting functors passen in een driehoek, en dit is in feite de unieke driehoek die aan de bovengenoemde derde axioma:
  • De cohomologie functor, of in feite, dat wordt verkregen door het vertalen van haar betoog :. De relatie met de truncatie functors is dat ze zijn gedefinieerd dat voor elk complex A, en is onveranderd; ook voor; Met name niet onafhankelijk daarvan, maar in feite. Verder is de cohomologie is een cohomologische functor: voor elke driehoek krijgen we een lange exacte volgorde

Deze eigenschappen over te dragen, zonder wijziging aan een t-structuur, dat als D is een t-categorie, dan bestaan ​​er inkorting functors in de kern, van waaruit we het verkrijgen van een cohomologie functor met waarden in de kern, en de bovengenoemde eigenschappen zijn tevreden voor beide.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen commentaar

Voeg een reactie

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha