Vector bundel

In de wiskunde, een vector bundel is een topologische constructie die precies het idee van een familie van vectorruimten geparametriseerd door een andere ruimte X maakt: op elk punt x van de ruimte X we associëren een vectorruimte V op een zodanige wijze dat deze vectorruimten passen samen met andere ruimte van dezelfde soort als X, die vervolgens heet een vectorbundel dan X. vormen

Het eenvoudigste voorbeeld is het geval dat de familie van vectorruimten constant, dat wil zeggen, er is een vaste vectorruimte V, zodanig dat V = V voor alle x in X: in dit geval er een kopie van V voor elke X in X en deze kopieën in elkaar passen om de vector bundel X × V op X. Dergelijke vector bundels worden gezegd triviaal te vormen. Een ingewikkelder klasse voorbeelden zijn de tangens bundels van gladde spruitstukken: voor elk punt van een dergelijk verdeelstuk wij hechten de raakruimte het verdeelstuk op dat punt. Tangent bundels zijn niet in het algemeen onbelangrijk bundels: bijvoorbeeld de raakbundel van de bol is niet triviaal de harige bal stelling. In het algemeen wordt een verdeelstuk genoemde parallelizable zijn als en alleen als de raakbundel triviaal.

Vectorbundels zijn bijna altijd vereist plaatselijk betekenis is echter, waardoor ze voorbeelden van vezelbundels. Ook de vectorruimten meestal nodig om via reële of complexe getallen, waarbij de vector bundel wordt gezegd dat een reële of complexe vectorbundel zijn. Complexe vectorbundels kan worden gezien als echte vectorbundels extra structuur. In het volgende, richten we ons op echte vector bundels in de categorie van topologische ruimten.

Definitie en de eerste gevolgen

Een echte vector pakket bestaat uit:

  • topologische ruimten X en E
  • een continue surjectie π: E → X
  • voor elke x in X, de structuur van een eindig-dimensionale reële vectorruimte op de vezel π

waar de volgende compatibiliteit voorwaarde is voldaan: voor elk punt in X, is er een open omgeving U, een natuurlijk getal k, en een homeomorfisme

zodat voor alle x ∈ U,

  •  voor alle vectoren v in R, en
  • de kaart is een isomorfisme tussen de vector ruimtes R en π.

De open omgeving U samen met de homeomorfisme φ heet een lokale trivialisering van de vector bundel. De lokale trivialisering blijkt dat lokaal de kaart π "lijkt op" de projectie van U × R op U.

Elke vezel π is een eindig-dimensionale echte vector ruimte en dus heeft een afmeting KX. De lokale trivializations tonen aan dat de functie x ↦ kx is lokaal constant, en is daarom constant op elke aangesloten component van X. Als kx is gelijk aan een constante k op elk van X, dan k wordt de rang van de vector bundel, en E wordt gezegd dat het een vector bundel van rang k. Vaak is de definitie van een vectorbundel omvat dat de rangschikking goed gedefinieerd, waardoor kx constant. Vector bundels van rang 1 worden genoemd lijn bundels, terwijl die van rang 2 worden minder vaak genoemd vliegtuig bundels.

De cartesiaanse product X × R, uitgerust met de projectie X × R → X, is de triviale bundel van rang k dan X. genoemd

Transition functies

Gegeven een vector bundel E → X van rang k, en een paar buurten U en V waarover de bundel bagatelliseert via

de samengestelde functie

is goed gedefinieerd op de overlap, en voldoet

voor sommige-GL gewaardeerde functie

Deze zijn de overgangsfuncties van de vectorbundel genoemd.

De set van de overgang functies vormt een Čech 'cocykel in de zin dat

voor U, V, W waarover de bundel bagatelliseert. Dus de data wordt een vezelbundel; de aanvullende gegevens van de GUV specificeert een GL structuur groep waarin de actie op de vezel is de standaard actie van GL.

Omgekeerd gezien een vezelbundel met een GL cocykel handelen op de standaardmanier op de vezel R, wordt geassocieerd een vectorbundel. Dit wordt soms gezien als de definitie van een vectorbundel.

Vector bundel morfismen

Een morfisme van de vectorbundel π1: E1 → X1 de vectorbundel π2: E2 → X2 wordt gegeven door een paar continue afbeeldingen f: E1 en E2 → G: X1 → X2 zodat

  • g ∘ π1 = π2 ∘ f
  • voor elke x in X1, de kaart π1 → π2 ({g}) veroorzaakt door f een lineaire tussen vectorruimten.

Merk op dat g wordt bepaald door f, en f wordt vervolgens gezegd g dekken.

De klasse van vector bundelt met bundel morfismen een categorie vormt. Beperken tot vector bundels waarvoor de ruimtes zijn spruitstukken en glad bundel morfismen we de categorie van gladde vector bundels te verkrijgen. Vector bundel morfismen zijn een speciaal geval van de notie van een bundel kaart tussen vezelbundels, en worden ook vaak genoemd bundel homomorphisms.

Een bundel homomorfisme van E1 E2 met een inverse die ook een bundel homomorfisme wordt een bundel isomorfisme en vervolgens E1 en E2 wordt gezegd dat isomorf vectorbundels zijn. Een isomorfisme van een vector bundel E op X met de triviale bundel heet een trivialisering van E en E wordt dan gezegd triviaal te zijn. De definitie van een vectorbundel blijkt dat vectorbundel plaatselijk triviaal.

We kunnen ook de categorie van vector bundels overwegen over een vaste basis ruimte X. Zoals morfismen in deze categorie nemen we die morfismen van vector bundels waarvan map op de basis de ruimte is de identiteit kaart op X. Dat is, bundel morfismen waarvoor de volgende diagram pendelt:

Een vector bundel morfisme tussen vector bundels π1: E1 → X1 en π2: E2 → X2 die een kaart g van X1 X2 kan ook worden gezien als een vector bundel morfisme dan X1 van E1 naar de pullback bundel g * E2.

Secties en lokaal gratis schoven

Gegeven een vector bundel π: E → X en een open deelverzameling U van X, kunnen we overwegen delen van π op U, dat wil zeggen continue functies s: U → E, waar de samengestelde π∘s is zodanig dat voor alle u in wezen U. een sectie toekent aan elk punt van de U een vector van de bijgevoegde vectorruimte, op continue wijze. Als voorbeeld gedeelten van de raakbundel van een differentiële groot zijn alleen maar vectorvelden op die manifold.

Zij W de verzameling van alle secties op U. F bevat altijd ten minste één element, namelijk de sectie nul: de functie is dat elk element kaarten x van U om de nul element van de vector ruimte π. Met de puntsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging van secties, F wordt zelf een echte vector ruimte. De collectie van deze vector ruimtes is een bundel van vector ruimten op X.

Als s een element van W en α: U → R een continue afbeelding, dan aS in W. We zien dat F een module via ring continu reëelwaardige functies U. Als bovendien OX geeft de structuur schoof van continue reële waarde functies op X, dan F wordt een bundel van OX-modules.

Niet elke schoof van OX-modules ontstaat op deze manier van een vector bundel: alleen lokaal vrije degenen doen.

Sterker nog: het bedrijf van onroerend vector bundels op X is gelijk aan de categorie van lokaal vrij en eindig gegenereerde schoven van OX-modules. Dus we kunnen denken aan de categorie van de echte vector bundels op X als vergadering binnen de categorie van schoven van OX-modules; Deze laatste categorie is abels, dus dit is waar we pitten en cokernels van morfismen van vector bundels kunnen berekenen.

Merk op dat een rang n vector bundel is triviaal als en alleen als het heeft n lineair onafhankelijke wereldwijde secties.

 Bewerkingen op vector bundels

De meeste operaties op vector ruimten kunnen naar vector bundels worden uitgebreid door het uitvoeren van de vector ruimte operatie fiberwise.

Wanneer bijvoorbeeld E een vectorbundel dan X, dan is er een bundel E * op X, genaamd de duale bundel, waarvan de vezel bij x∈X is de duale vectorruimte *. Formeel E * kan worden gedefinieerd als de verzameling van paren, waarbij x ∈ X en φ ∈ *. De dual bundel is lokaal triviaal, omdat de dubbele ruimte van het omgekeerde van een lokale trivialisering van E is een lokale trivialisering van E *: het belangrijkste punt hier is dat de werking van het nemen van de duale vectorruimte is functorial.

Er zijn vele functorial handelingen die kunnen worden uitgevoerd op paren van vectorruimten en deze breiden ongecompliceerd te paren vectorbundels E, F op X. Enkele voorbeelden volgen.

  • De Whitney som of directe som bundel van E en F is een vector bundel E ⊕ F over X wiens vezels dan x is de directe som Ex ⊕ Fx van de vectorruimten Ex en Fx.
  • Het tensorprodukt bundel E ⊗ F is gedefinieerd op dezelfde wijze gebruikt fiberwise tensorproduct van vectorruimten.
  • De Hom-bundel Hom is een vector bundel waarvan de vezel bij x is de ruimte van lineaire afbeeldingen van Ex FX of L). De Hom-bundel wordt zo genoemd omdat er een bijectie tussen vectorbundel homomorphisms van E tot F over X profielen van Hom dan X.
  • De dual vector bundel E * wordt de Hom bundelen Hom van de bundel homomorphisms van E en de triviale bundel R × X. Er is een canonieke vector bundel isomorfie Hom = E * ⊗ F.

Elk van deze bewerkingen is een bijzonder voorbeeld van een algemeen kenmerk van bundels: dat vele bewerkingen die kunnen worden uitgevoerd op het gebied van vectorruimten ook worden uitgevoerd op de categorie vectorbundels op functorial wijze. Dit wordt gepreciseerd in de taal van gladde functoren. Een operatie van een andere aard is de pullback bundel constructie. Gegeven een vector bundel E → Y en een continue afbeelding f: X → Y kan "terugtrekken" E naar een vector bundel f * E op X. De vezel over een punt x ∈ X is in wezen alleen de vezels meer dan f ∈ Y . Vandaar dat Whitney sommeren E ⊕ F kan worden gedefinieerd als de pullback bundel van de diagonale kaart van X naar X x X, waar de bundel dan X x X E x F.

Bijkomende structuren en veralgemeningen

Vector bundels worden vaak meer structuur. Bijvoorbeeld kan vectorbundels worden voorzien van een vectorbundel gegeven. Meestal metriek nodig positief definitief te zijn, waarbij elke vezel van E wordt een Euclidische ruimte. Een vectorbundel met een complexe structuur overeenkomt met een complex vectorbundel, die ook kunnen worden verkregen door het vervangen reële vectorruimten in de definitie met complexe en eisen dat alle afbeeldingen zijn complex-lineair in de vezels. Meer in het algemeen kan men meestal verstaan ​​de extra structuur opgelegd aan een vectorbundel wat de daaruit voortvloeiende verlaging van de structuur groep een bundel. Vectorbundels via algemenere topologisch velden kunnen ook worden gebruikt.

Wanneer in plaats van een eindig-dimensionale vectorruimte, indien de vezel F wordt een Banachruimte zijn dan een Banach bundel wordt verkregen. In het bijzonder moet men dient de lokale trivializations zijn Banachruimte isomorfismen op elk van de vezels en die voorts de overgangen

zijn continue mappings van Banach spruitstukken. In de overeenkomstige theorie C bundels worden alle toewijzingen moeten Celsius.gebruik

Vector bundels zijn speciale vezel bundels, die waarvan de vezels zijn vector ruimtes en waarvan de 'cocykel respecteert de vector ruimte structuur. Meer algemeen vezelbundels kunnen worden geconstrueerd waarin de vezel andere structuren kunnen hebben; bijvoorbeeld bol bundels worden fibered door bollen.

Gladde vector bundels

Een vector bundel is glad, als E en M zijn glad spruitstukken, f: E → M is een gladde kaart, en de lokale trivializations zijn diffeomorfismen. Afhankelijk van de gewenste mate van gladheid, zijn er verschillende overeenkomstige begrippen C bundels oneindig differentieerbare C-bundels en real analytische C-bundels. In dit deel zullen we ons concentreren op C-bundels. Het belangrijkste voorbeeld van een C-vector bundel is de raakbundel van een C-spruitstuk M.

De C-vectorbundels een zeer belangrijke eigenschap niet gedeeld door meer algemene C-vezelbundels. Namelijk, kan de raakruimte Tv op elk v ∈ Ex natuurlijk worden geïdentificeerd met de vezel Ex zelf. Deze identificatie wordt verkregen door de verticale lift VLV: Ex → Tv, gedefinieerd als

De verticale lift kan ook worden gezien als een natuurlijke C-vector bundel isomorfie p * E → VE, waar is de pull-back bundel van meer dan E door middel van f: E → M en VE: = Ker ⊂ TE is de verticale raakbundel , een natuurlijke vector subbundle van de raakbundel van de totale ruimte E.

De spleet vector bundel E / 0, verkregen door het verwijderen van de nul sectie 0 ⊂ E, draagt ​​een natuurlijke vector veld Vv: = vlvv, bekend als de canonieke vector veld. Formeler V een gladde gedeelte van en het kan ook worden gedefinieerd als infinitesimale generator van de Lie-groepsactie

Voor elk glad vector bundelen de totale ruimte TE haar raakbundel heeft een natuurlijke secundaire vector bundel structuur, waarbij p * is de push-forward van de canonieke projectie f: E → M. De vector bundel operaties in deze secundaire vector bundel structuur zijn de push-forwards + *: T → TE en λ *: TE → TE van de oorspronkelijke toevoeging +: E × E → E en scalaire vermenigvuldiging λ: E → E.

K-theorie

De K-theoriegroep, K, van een verdeelstuk wordt gedefinieerd als abelse groep die door isomorfisme klassen vectorbundels modulo het verband dat wanneer we een exacte volgorde

dan

in topologische K-theorie. KO-theorie is een versie van deze constructie die echte vector bundels acht. K-theorie met de compacte steunen kan ook worden gedefinieerd, alsmede hogere K-theorie groepen.

De beroemde periodiciteit stelling van Raoul Bott beweert dat de K-theorie van elke ruimte X isomorf is aan die van de S $ ^ {2} $ X, het dubbele schorsing van $ X $

In algebraïsche meetkunde, men de K-theorie groepen van coherente schoven op een schema X, en K-theorie groepen vector bundels op de regeling met de bovenstaande equivalentierelatie. De twee constructen dezelfde mits de onderliggende regeling soepel.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen commentaar

Voeg een reactie

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha