Vooravond

In de wiskundige theorie van singulariteiten een knobbel is een soort singulier punt van een curve. Knobbels zijn lokale singulariteiten doordat ze niet worden gevormd door zelf snijpunten van de curve.

De vliegtuigkromme knobbels zijn diffeomorfische een van de volgende vormen: x - y = 0, waarbij k ≥ 1 een geheel getal.

Meer algemene achtergrondinformatie

Beschouw een soepele reëelwaardige functie van twee variabelen, bijvoorbeeld f waarbij x en y reële getallen. Dus f is een functie van het vliegtuig naar de lijn. De ruimte van alle dergelijke gladde functies wordt opgevolgd door de groep van diffeomorfismen van het vliegtuig en de diffeomorfismen van de lijn, dat wil zeggen diffeomorfische veranderingen te coördineren in zowel de bron en het doel. Deze actie splitst de hele functie van de ruimte tot in equivalentie klassen, dwz banen van de groep actie.

Een dergelijke familie van equivalentieklassen wordt aangeduid met Ak, waarbij k een positief geheel getal. Deze notatie werd geïntroduceerd door V. I. Arnold. Een functie f wordt gezegd van het type Ak te zijn als het ligt in de baan van x ± y, dwz dat er sprake is van een verandering van de diffeomorfische coördineren bron en doel, die neemt f in een van deze vormen. Deze eenvoudige formulieren x ± y wordt gezegd dat ze de normale vormen voor het soort Ak-singulariteiten geven. Merk op dat de A2n hetzelfde als A2n sinds diffeomorfische verandering coördineren → in de bron neemt x + y x - y. Dus we kunnen het ± uit A2n notatie laten vallen.

De knobbels worden dan gegeven door het nul-niveau-sets van de vertegenwoordigers van de A2n gelijkwaardigheid klassen, waarbij n ≥ 1 een geheel getal.

Voorbeelden

  • Een gewone knobbel wordt gegeven door x - y = 0, dwz het nul-niveau-set van een type A2-singulariteit. Zij f een gladde functie van x en y en veronderstellen, voor de eenvoud, dat f = 0. Dan type A2-singulariteit van f aan wordt gekenmerkt door:
  • Na een gedegenereerde kwadratische deel, namelijk de kwadratische termen in de Taylorreeksontwikkeling van f vormen een perfect vierkant, zeg L, waarbij L lineair in x en y, en
  • L niet de kubieke termen in de Taylor reeks van f verdelen.

Gewone knobbels zijn belangrijke geometrische objecten. Het kan worden aangetoond dat logen in het vliegtuig bevatten generiek vloeiende punten en de gewone vooravond punten. Generieke bedoelen we dat een open en dichte verzameling van alle bijtende stoffen bevatten vloeiende punten en de gewone vooravond punten. Bijtende stoffen zijn, informeel, punten van uitzonderlijke helderheid die worden veroorzaakt door de reflectie van het licht van een object. In het theekopje foto licht stuiteren de kant van het theekopje en interactie in een niet-parallelle wijze met zichzelf. Dit resulteert in een loog. De bodem van het theekopje is een tweedimensionale doorsnede van het loog.

  • Een rhamphoid knobbel wordt gegeven door x - y = 0, dwz het nul-niveau-set van een type A4-singulariteit. Deze knobbels zijn niet generiek als bijtende en golffronten. De rhamphoid knobbel en de gewone vooravond niet-diffeomorfische.

Voor een type A4-singulariteit moeten we f een gedegenereerde kwadratisch deel hebben, dat L doet verdelen de kubieke termen, een ander deelbaarheid conditie, en een laatste ondeelbaarheid conditie.

Om te zien waar deze extra deelbaarheid voorwaarden komen, gaan ervan uit dat f een gedegenereerde kwadratisch deel L en L verdeelt de kubieke termen. Hieruit volgt dat de derde orde Taylor reeks van f wordt gegeven door L ± LQ waarbij Q kwadratisch in x en y. ¼Q - We kunnen het plein dat L ± LQ = zien te voltooien. We kunnen nu een diffeomorfische verandering van de variabele, zodat - ¼Q → x1 + P1 waarin P1 is quartic in x1 en y1. De deelbaarheid voorwaarde voor het type A≥4 is dat x1 verdeelt P1. Als x1 niet P1 verdelen dan hebben we typen precies A3. Als x1 verdeelt P1 we vullen het plein op x12 + P1 en verandering coördineert zodat we x2 + P2 waarbij P2 Vijfdegraadsvergelijking in x2 en y2. Als x2 niet P2 verdelen dan hebben we precies het type A4, dwz het nul-niveau-set een rhamphoid knobbel zal zijn.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen commentaar

Voeg een reactie

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha