Voorwaardelijke verwachting

In waarschijnlijkheidsrekening een voorwaardelijke verwachting is de verwachte waarde van een echt willekeurige variabele met betrekking tot een conditionele kansverdeling. Met andere woorden, is de verwachte waarde van een variabele gezien de waarde van een of meer andere variabelen. Het is ook bekend als voorwaardelijke verwachtingswaarde of voorwaardelijk gemiddelde.

Het concept van de conditionele verwachting is belangrijk Kolmogorov de maat-theoretische definitie van de kansrekening. Het concept van de voorwaardelijke kans is gedefinieerd in termen van conditionele verwachting.

Berekening

Laat X en Y zijn discrete random variabelen, dan is de conditionele verwachting van X gegeven indien Y = y is een functie van y in het traject van Y

waarbij de reeks X.

Als nu X is een continue stochast, terwijl Y blijft een discrete variabele, de voorwaardelijke verwachting is:

waarbij de voorwaardelijke dichtheid gegeven.

Een probleem ontstaat wanneer Y continu. In dit geval is de waarschijnlijkheid p = 0 en de Borel-Kolmogorov paradox toont de dubbelzinnigheid van een poging om conditionele waarschijnlijkheid definiëren die richting.

Maar de bovenstaande expressie kan worden herschikt:

en hoewel dit triviaal voor individuele waarden van y zij gehouden bij meetbare deelverzameling B van het domein van Y die:

In feite is dit voldoende om zowel conditionele verwachtingen en conditionele waarschijnlijkheid te bepalen.

Formele definitie

Laten een kansruimte met een willekeurige variabele en een sub-σ-algebra.

Dan is een voorwaardelijke verwachting van X gegeven elke -measurable functie die voldoet:

Merk op dat alleen de naam van de conditionele verwachtingen functie.

Discussie

Een paar punten vermeldenswaard over de definitie:

  • Dit is niet een constructieve definitie; we alleen gezien de gewenste eigenschap dat een voorwaardelijke verwachtingen moet voldoen.
    • Het vereiste eigenschap heeft dezelfde vorm als de laatste expressie in de inleiding.
    • Het bestaan ​​van een voorwaardelijke verwachtingen functie wordt bepaald door de Radon-Nikodym stelling, voldoende voorwaarde is dat de verwachte waarde voor X bestaan.
    • Uniciteit kan worden aangetoond dat bijna zeker te zijn: dat wil zeggen, versies van hetzelfde conditionele verwachting zal verschillen alleen op een reeks van waarschijnlijkheid nul.
  • De σ-algebra regelt de "granulariteit" van de airconditioning. Een voorwaardelijke verwachting over een fijnere korrel σ-algebra zal ons toelaten om de conditie op een breder scala aan evenementen.
    • Vrij van waarden van een willekeurige variabele Y met toestandsruimte conditie, behoeft slechts de conditionele verwachting met het pre-beeld van Σ ten opzichte Y definiëren, zodat die gedefinieerd zijn, waarbij

Definitie van voorwaardelijke kans

Voor elk evenement, bepalen de indicator functie:

die een willekeurige variabele met betrekking tot de Borel σ-algebra op. Merk op dat de verwachting van deze willekeurige variabele gelijk is aan de kans dat A zelf:

Dan is de voorwaardelijke waarschijnlijkheid een bepaalde functie, die de conditionele verwachting van de indicator functie voor A:

Met andere woorden, een -measurable functie voldoet

Een voorwaardelijke kans is regelmatig als ook een kans maatregel voor alle ω ∈ Ω. Een verwachting van een willekeurige variabele met betrekking tot een normale voorwaardelijke waarschijnlijkheid gelijk aan zijn conditionele verwachtingen.

  • Voor de triviale sigma Algebra de voorwaardelijke kans is een constante functie,
  • Want, zoals hierboven aangegeven ,.

Zie ook de voorwaardelijke kansverdeling.

Conditioning als factorisatie

In de definitie van voorwaardelijke verwachting dat we hierboven vermeld, dat Y een echte willekeurige variabele is irrelevant: Laat U zijn meetbaar ruimte, dat een stel voorzien van een σ-algebra subsets. Een U-waarde willekeurige variabele is een functie zodanig dat voor iedere meetbare deelverzameling van U.

Wij beschouwen de maatregel Q op U gegeven als hierboven: Q = P (Y) voor elke meetbare deelverzameling B van U. Dan is Q een kans maatregel op de meetbare ruimte U gedefinieerd op de σ-algebra van meetbare sets.

Stelling. Als X een integreerbare willekeurige variabele op Ω dan is er één en tot gelijkwaardigheid ae ten opzichte van Q, maar een integreerbare functie g op U, dat wordt geschreven of, zodanig dat voor iedere meetbare deelverzameling B van U:

Er zijn een aantal manieren om dit te bewijzen; één zoals hierboven gesuggereerd, is om op te merken dat de uitdrukking aan de linkerkant definieert, als een functie van de set B, een aftelbaar additief ondertekend maatregel μ op de meetbare subsets van U. Bovendien is deze maatregel μ absoluut continu ten opzichte van Q . Inderdaad Q = 0 betekent dat precies Y kans 0. De integraal van een integreerbare functie op een reeks van kans 0 is zelf 0. Dit bewijst absolute continuïteit. Dan geeft de Radon-Nikodym stelling de functie g, gelijk aan de dichtheid van μ opzichte van Q.

De bepalende voorwaarde voorwaardelijke verwachting dan is de vergelijking

en geldt dat

We kunnen deze gelijkheid verder te interpreteren door te kijken naar de abstracte substitutie formule om de integraal aan de rechterkant te vervoeren naar een integraal over Ω:

De vergelijking betekent dat de integralen van X en de samenstelling over sets van de vorm Y, B een meetbare deelverzameling van U, identiek.

Deze vergelijking kan worden geïnterpreteerd dat het volgende diagram commutatief het gemiddelde.


Conditioneren ten opzichte van een deelalgebra

Er is een ander gezichtspunt voor het conditioneren waarbij σ-deelalgebra's N van de σ-algebra M. Deze versie is een triviale specialisatie van de voorgaande: wij U gewoon om de ruimte Ω met de σ-algebra N en Y de identiteit kaart zijn. We stellen het resultaat:

Stelling. Als X een integreerbare echte willekeurige variabele op Ω dan is er één en tot gelijkwaardigheid ae ten opzichte van P, maar een integreerbare functie g zodanig dat voor elke set B behoren tot de deelalgebra N

waarin g gemeten ten opzichte N. vorm van voorwaardelijke verwachtingen wordt gewoonlijk geschreven: E. Deze versie heeft de voorkeur van probabilists. Een reden is dat op het Hilbert ruimte vierkante integreerbare echte random variabelen de mapping X → E is self-adjoint

en een uitsteeksel

Basiseigenschappen

Laten een kans ruimte, en laat een σ-deelalgebra van M. N zijn

  • Conditionering met betrekking tot N lineair is op de ruimte van integreerbare echte random variabelen.
  •  Meer in het algemeen, voor elke integreerbare N-meetbare willekeurige variabele Y op Ω.
  •  voor alle B ∈ N en elke integreerbare stochastische variabele X op Ω.
  • Jensen's ongelijkheid geldt: Als ƒ is een convexe functie, dan
  • Conditioning is een samentrekkende projectie
(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen commentaar

Voeg een reactie

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha